概率、条件概率与贝叶斯

为什么需要

Agent 的工具可能失败，分类器可能误报，检索结果可能相关。概率不是“主观含糊”，而是用 0 到 1 描述不确定事件的模型。

样本空间 $Ω$ 是所有可能结果，事件 $A$ 是其中一部分。概率满足 $0 \leq P (A) \leq 1$ 、 $P (Ω) = 1$ 。补集规则：

$P (\neg A) = 1 - P (A)$

若两事件互斥， $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ ；一般情况需减去重复部分：

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

例：100 次工具调用有 12 次超时，经验超时率为 $12/100 = 0.12$ 。这是样本估计，不是永恒真值。

知道 $B$ 已发生后， $A$ 的概率为：

$P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}, P (B) > 0$

若 $P (A ∣ B) = P (A)$ ，才称 $A$ 与 $B$ 独立。不同请求来自同一用户、同一服务故障窗口或同一文档时，往往不独立；把它们当独立样本会低估不确定性。

例：监控显示总体失败率 5%，高峰时段失败率 15%。你在高峰已知条件下应使用 15%，不能仍用总体 5%。

$P (H ∣ E) = \frac{P ( E ∣ H ) P ( H )}{P ( E )}$

$H$ 是假设， $E$ 是证据。 $P (H)$ 是先验， $P (E ∣ H)$ 是证据在假设成立时出现的概率， $P (H ∣ E)$ 是更新后的后验。

假设线上只有 1% 请求真正异常；告警器对异常的召回率 90%，对正常请求误报率 5%。告警后真正异常概率：

$\frac{0.90 \times 0.01}{0.90 \times 0.01 + 0.05 \times 0.99} \approx 0.154$

即约 15.4%，不是 90%。低基率让误报占多数。这对安全检测、幻觉告警和异常监控非常重要。